Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Обозначения:
[Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение]AВС — треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB — его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне а.
Р - периметр,[Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение]— полупериметр, R и r — радиусы соответственно описанном и вписанной окружностей.
S -- площадь фигуры, d1,d2 -— диагонали четырехугольника.
[Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение]— угол между прямыми a и b;
[Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение]— знаки, параллельности. пендикулярности, подобия соответственно.
О — определение, Т — теорема.

Т—1. (Признаки параллельности прямых)
[Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение]
Две прямые параллельны, если:
внутренние накрест лежащие углы равны: < 3 = < 5;
внешние накрест лежащие УГЛЫ равны: < 1 = < 7;
соответственные углы равны: <1 = < 5;
сумма внутренних односторонних углов равна 180°: < 2 + < 5= 180°;
сумма внешних односторонних углов равна 180°: < 1 + < 6 = 180°.
О-1[Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение] А1В1С1',~[Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение]АВС (k - коэффициент подобия), если их стороны пропорциональны, а соотиетствепныг углы равны
[Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение]

Т—2 (признаки подобия). Два треугольника подобны, если:
- два угла одного [Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение] равны двум углам другого [Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение]
- две стороны одного [Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение] пропорциональны двум сторонам другого [Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение], а углы, заключенные между этими сторонами, равны;
- три стороны одного [Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение] пропорциональны трём сторонам другого [Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение]

Т—3. В подобных треугольниках пропорциональны все их линейные элементы (с одним и тем же k): стороны, медианы, биссектрисы, высоты, радиусы вписанных и описанных окружностей и пр.

Т—4 (Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от них пропорциональные отрезки
[Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение]

Т—5. Сумма углов треугольника равна 180°.

Т—6. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану на части в отношении 2 : 1, считая от вершины
[Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение]

Т—7. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине
[Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение]

Т—8. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам: BD : СD = АВ : AС
[Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение]

Т—9. Вписанный угол (образованный двумя хордами, исходящими из одной точки окружности) измеряется половиной дуги, на которую он,опирается (рис 12)
[Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение]

Т-10. Центральный угол, образованный двумя радиусами окружности, измеряется дугой, на которую он опирается (рис 12)
[Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение]

Т—11. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной между его сторонами
[Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение]

Т—12. Угол между двумя секущими с вершиной вне окружности измеряется полуразностыо двух дуг, заключенных между его сторонами
[Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение]

Т—13. Касательные, проведенные к окружности из общей точки, расположенной вне окружности, равны: В А = ВС. Угол между двумя касательными (описанный угол) измеряется полуразностыо большей, и меньшей дуг, заключенных между точками касания (рис 15)
[Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение]

Т—14. Угол между двумя хордами с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых заключена между его сторонами,
[Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение]
другая — между их продолжениями (рис 16)
[Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение]

Т—15. Если две хорды пересекаются внутри круги, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой (см. рис. 16):
АО • ОB = СО • OD.

Т—16. Если из точки вне круга проведены касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению отрезка секущей на ее внешнюю часть (рис. 17):
[Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение]

Т—17. В прямоугольном треугольнике (а, b - катеты, с — гипотенуза. h — высота, опущенная на гипотенузу, Ac, Bc — проекции катетов па гипотенузу) имеют место (рис. 18):
[Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть это изображение]